1. $$\bex \al\in\bbR\ra \int_0^\infty \frac{\rd x}{(1+x^2)(1+x^\al)}=? \eex$$

解答: $$\beex \bea \int_0^\infty \frac{\rd x}{(1+x^2)(1+x^\al)}&=\int_0^1\cdots+\int_1^\infty\cdots\\ &=\int_1^\infty \frac{x^\al \rd x}{\cdots}+\int_1^\infty \frac{\rd x}{\cdots}\\ &=\int_1^\infty \frac{\rd x}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}. \eea \eeex$$

 

2. $$\bex \int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x. \eex$$

解答: $$\beex \bea \int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x &=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{t\cos t}{\sin t}\rd t\\ &=\int_0^\frac{\pi}{2}t\rd \ln \sin t\\ &=-\int_0^\frac{\pi}{2}\ln \sin t\rd t\\ &=\frac{\pi}{2}\ln 2. \eea \eeex$$ 这里, 最后一步用了我们上课时做过的一个习题: $$\bex \int_0^\frac{\pi}{2}\ln \sin x\rd x=-\frac{\pi}{2}\ln 2. \eex$$